Die Zahl 1024 kommt Ihnen vielleicht bekannt vor. Es ist eine Zweierpotenz und sie spielt in der Informationstechnik eine wichtige Rolle. Die Größe des Speicherplatzes beispielsweise wird als Zweierpotenz angegeben.1024 Bytes, also 2 hoch 10 Bytes, entsprechen einem Kibibyte . Früher wurde diese Größe häufig auch als Kilobyte bezeichnet.

Sie sollen die Summe der ersten zwölf Zweierpotenzen berechnen. Also von 2⁰ (= 1) bis 2¹¹ (= 2048). Sie dürfen dabei weder Taschenrechner noch Computer verwenden. Und bitte auch keine Summenformeln, sofern Sie diese kennen.

Wie lässt sich die Summe

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … + 1024 + 2048 =
2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2¹⁰ + 2¹¹

auf unkomplizierte Weise berechnen?

Die Summe beträgt 4095.

Es gibt einen einfachen Trick, mit dem wir im Handumdrehen die Summe ausrechnen können. Wir bezeichnen die gesuchte Summe mit S. Dann gilt:

S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … + 1024 + 2048

Nun multiplizieren wir die linke und die rechte Seite der Gleichung mit 2. Dadurch verdoppelt sich jede Zweierpotenz. Aus 1 wird 2, aus 2 wird 4 und so weiter bis zu 1024 und 2048, die zu 2048 und 4096 werden. Wir erhalten:

2S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … + 2048 + 4096

Auf der rechten Seite der Gleichung steht ganz rechts 4096 und davor die Summe der Zweierpotenzen von 2 bis 2048. Das entspricht bis auf den fehlenden Summanden 1 der Summe S von 1 bis 2048. Also können wir schreiben:

2S = S – 1 + 4096

Nach dem Abziehen von S auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir die Lösung:

S = 4095

Wer die Summenformel für Zweierpotenzen kennt, kann die gesuchte Zahl natürlich damit direkt berechnen. Allgemein gilt: Die Summe der Zweierpotenzen von 2⁰ bis 2ⁿ ist 2ⁿ⁺¹ – 1. Um die Gültigkeit dieser Formel zu beweisen, nutzt man die vollständige Induktion oder den oben beschrieben Trick der Multiplikation der Summe mit 2.

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben – hier sind die jüngsten Folgen:

• Flächendifferenz gesucht

• Wie groß ist die Summe der Winkel?

• Auf welche zwei Ziffern endet diese Potenz?

• Wie lang ist ein Kettenglied?

• Welche Karten müssen Sie umdrehen?

• Zwei Seitenlängen gesucht

• Wie groß ist die dunkle Fläche?

• Geschickt umgefüllt

• Wo versteckt sich der Preis?

• Welche Ziffer fehlt?