Fußball hat viel mit Psychologie zu tun. Das zeigt sich spätestens, wenn ein Spiel erst im Elfmeterschießen entschieden wird. Manchmal geht es aber auch einfach nur um elementare Geometrie.

Ein Fußballer läuft die Seitenauslinie entlang Richtung gegnerische Hälfte. Er will den Torwart mit einem Schuss vom Rande des Spielfelds überraschen und sucht dafür den optimalen Punkt. Der Spieler will dann schießen, wenn ihm das Tor unter einem größtmöglichen Winkel erscheint – also wenn der Winkel zwischen linkem Pfosten, dem Ball und dem rechten Pfosten möglichst groß ist.

Wo liegt dieser Punkt?

Hinweis: Die Breite des Tores beträgt 7,32 Meter. Das Spielfeld ist 105 Meter lang und 68 Meter breit .

In 33,80 Meter Entfernung von der Torauslinie erscheint das Tor unter dem größtmöglichen Winkel.

Bei der Lösung hilft uns der Zentriwinkelsatz  – auch Kreiswinkelsatz genannt. Der Spieler und die beiden Torpfosten bilden ein Dreieck, um das wir einen Umkreis zeichnen. In der Zeichnung unten sind das Tor und die Seitenauslinie als schwarze Linien hervorgehoben.

Der Winkel, unter dem das Tor erscheint, ist ein sogenannter Peripheriewinkel. Er ist in der Zeichnung blau markiert. Wir zeichnen nun den zugehörigen Zentriwinkel ein, gebildet von den beiden Torpfosten und dem Mittelpunkt des Kreises. Der Zentriwinkel ist rot hervorgehoben.

Der Zentriwinkelsatz besagt, dass der Zentriwinkel immer doppelt so groß ist wie der zugehörige Peripheriewinkel. Wir müssen also den größtmöglichen Zentriwinkel finden – dann erreicht auch der Peripheriewinkel seinen Maximalwert.

Der Zentriwinkel wird umso kleiner, je weiter der Mittelpunkt M vom Tor entfernt ist und je größer der Radius des Kreises ist. Wir suchen also den kleinstmöglichen Umkreis um den Spieler und die beiden Torpfosten.

Der Kreis muss die Seitenauslinie schneiden – zumindest aber berühren. Der kleinste Radius ist gefunden, wenn der Kreis die Seitenauslinie nur tangiert – siehe folgende Zeichnung.

Nun können wir mit dem Satz des Pythagoras den Abstand h von der Torauslinie berechnen, von dem der Spieler schießen sollte. t ist die Breite des Tores (7,32 m), r entspricht der halben Spielfeldbreite (34 m).

r² = h² + (t/2)²
h² = r² - (t/2)²

h² = 34² - (3,66)²
h² = 1142,60..
h = 33,80.. m

Entdeckt habe ich diese Aufgabe im Buch »Der Garten der Sphinx« von Pierre Berloquin.

Hinweis: Im Zwischenschritt der Berechnung stand ein Tippfehler bei h² – er ist korrigiert.

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