Versender machen kuriose Vorgaben zur maximalen Größe von Paketen. Es gibt Maximalwerte für die längste Seite oder auch für alle drei Seiten. Und es gibt eine zusätzliche Angabe zum sogenannten Gurtmaß. Die Summe aus der längsten Seite L und der doppelten Länge der zwei kürzeren Seiten B und H darf einen bestimmten Wert nicht überschreiten.

Diese Vorgaben können zu einer mathematischen Herausforderung werden, wenn Sie zum Beispiel eine dicke Daunendecke verschicken möchten. Die Decke lässt sich gut komprimieren, aber Sie wollen die Daunen möglichst schonend verpacken. Das bedeutet, dass der Karton ein möglichst großes Volumen haben sollte.

Folgende Vorgaben gibt es zu L, B, und H:

L: maximal 120 cm
B: maximal 60 cm
H: maximal 60 cm

Gurtmaß
L + 2B + 2H: maximal 300 cm

Wie müssen L, B und H gewählt werden, damit das Volumen des Paketes maximal wird?

Das Volumen ist maximal bei L = 100 cm, B = 50 cm, H = 50 cm.

Wir beginnen mit der Breite B und der Höhe H. Um bei einem vorgegebenen Gurtmaß ein maximales Volumen zu erreichen, müssen B und H in jedem Fall gleich groß sein. Das können wir leicht zeigen.

Wir nehmen an, unser Paket hat die Dimension L, B = Z – x und H = Z + x. Die Variable x können wir frei zwischen -Z und Z wählen. Das Gurtmaß L + 2B + 2H beträgt immer L + 4Z, egal welchen Wert x hat.

Das Volumen des Paketes wird mit folgender Formel berechnet:

V = L * (Z – x) * (Z + x)
V = L * (Z² – x²)

Wir sehen, dass das Volumen dann am größten ist, wenn gilt x=0. Um bei einem vorgegebenen Gurtmaß ein größtmögliches Volumen zu erhalten, müssen also B und H gleich groß sein.

Wie aber sollte das Verhältnis von Länge zu Breite und Höhe sein? Das müssen wir als Nächstes herausfinden. Wir setzen H = B und erhalten folgende Gleichungen:

Gurtmaß
300 = L + 2B + 2H
300 = L + 4B

Volumen
V = L * B * H
V = L * B²

Wir setzen nun L = 300 – 4B in die Gleichung zur Volumenberechnung ein.

V = (300 – 4B) * B²
V = 300B² – 4B³

V soll maximal werden, wobei B laut Vorgabe Werte zwischen 0 und 60 cm annehmen kann. Es handelt sich um eine Funktion dritten Grades mit Nullstellen bei B = 0 und B = 75. Wir suchen das Maximum dieser Funktion, das zwischen B = 0 und B = 75 liegen muss. Das Maximum ist über die erste Ableitung leicht zu finden, diese ist dann Null. Wir berechnen die erste Ableitung:

V′ = 600B – 12B²

Die erste Ableitung ist Null für B = 0 und für B = 50. B = 0 ist ein Minimum der Funktion, kann also nicht die Lösung sein. Also ist B = 50 die gesuchte Lösung. Wegen B = H und L = 300 – 4B erhalten wir die Lösung:

Länge = 100 cm
Breite = 50 cm
Höhe = 50 cm

Vielen Dank an den Leser Robert Lang aus Wiesloch, der dieses Rätsel vorgeschlagen hat.

Ergänzung: Der Leser Thorsten Thiele weist darauf hin, dass einige Paketdienstleister für Sendungen zusätzlich auch das sogenannte Volumengewicht berücksichtigen. Dabei wird das Volumen des Paketes in Kubikzentimetern berechnet und dann durch 5000 geteilt (L*B*H/5000). Ist diese Zahl größer als die Masse des Pakets in Kilogramm, ist das Volumengewicht maßgeblich für die Wahl des passenden Tarifs. Ein Paket der Größe 100*50*50 hat ein Volumengewicht von 50 kg, der Versandpreis wäre bei diesen Anbietern entsprechend höher, auch wenn das Paket deutlich leichter ist.

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