Sie haben vielleicht schon von Rechengenies gehört, die im Kopf die 13. Wurzel aus einer hundertstelligen Zahl ziehen können. Und dafür nur ein paar Sekunden brauchen.

Keine Angst, Sie müssen das jetzt nicht machen. Die Aufgabe ist im Vergleich dazu ein Kinderspiel:

Auf welche Ziffer endet die Zahl

111⁶ + 222⁶ + 333⁶ + 444⁶ + 555⁶ ?

Eine Bitte: Benutzen Sie für die Lösung weder Taschenrechner noch Computer!

Hier geht es zur Lösung

Der Trick besteht darin, dass Sie nur auf die Einerstellen der fünf Zahlen schauen müssen. Allein die sechsten Potenzen der Einerstellen entscheiden darüber, auf welche Ziffer die fünf Potenzen enden.

Warum ist das so? Das wird sofort klar, sobald man die zu potenzierende Zahl in ihren Einer und ein verbleibendes Vielfaches von 10 aufspaltet.

Beispiel 111⁶: Wir schreiben stattdessen (110+1)⁶. Man kann dies allgemein als binomische Formel notieren in der Form (a+b)⁶. Das können wir ausrechnen. Lassen Sie sich nicht vom komplizierten Ergebnis irritieren, die Formel wird eigentlich gar nicht weiter benötigt:

(a+b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20 a³b³ + 15 a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶

Weil in der Zahl a der Faktor 10 drinsteckt (a=110=10*11), sind alle Summanden rechts des Gleichheitszeichens Vielfache von 10, denn überall steckt mindestens a drin. Einzige Ausnahme ist b⁶. Und deshalb entscheidet allein b darüber, auf welche Ziffer (a+b)⁶ endet (wenn a ein Vielfaches von 10 ist).

Wir können die Aufgabe deshalb auch wie folgt formulieren: Auf welche Ziffer endet die Zahl

1⁶ + 2⁶ + 3⁶ + 4⁶ + 5⁶ ?

Das ist schon viel einfacher.

Bei 1⁶ ist es 1.

Bei 2⁶ multipliziere ich 2² * 2² * 2² = 4*4*4 = 64 und komme auf 4.

Nun zu 3⁶. Hier erhält man 3² * 3² * 3² = 9*9*9. Die letzte Ziffer davon ist eine 9.

Auf ähnliche Weise finden wir heraus, dass die letzte Ziffer von 4⁶ eine 6 ist und die von 5⁶ eine 5.

Die Summe endet dann wie die Summe 1 + 4 + 9 + 6 + 5 = 25, und zwar auf 5. Das ist auch die gesuchte Lösung.

Wer noch mal genau nachrechnen möchte:

111⁶ = 1.870.414.552.161
222⁶ = 119.706.531.338.304
333⁶ = 1.363.532.208.525.369
444⁶ = 7.661.218.005.651.456
555⁶ = 29.225.227.377.515.625

Addiert man die fünf Zahlen zusammen, erhält man 38.371.554.537.582.915 - und die Zahl endet tatsächlich auf 5!