Einmal pro Monat treffen sich drei Zauberer, um über Tricks zu plaudern. Die Magier sind immer auf der Suche nach neuen Ideen, weil aus dem Hut gezauberte Kaninchen, hinterm Ohr versteckte Geldscheine und spurlos verschwundene Münzen sie total langweilen.

Alle drei haben ein Faible für Zahlen - und so lesen sie mit großem Interesse eine E-Mail, die ihnen ein befreundeter Kollege aus Südkorea geschickt hat. Darin wird ein Trick mit Zahlen beschrieben, allerdings nur unvollständig:

"Ich bitte einen Zuschauer, sich eine beliebige zweistellige Zahl auszudenken und diese mir nicht zu verraten. Dann soll er die Zahl viermal hintereinander schreiben, sodass eine achtstellige Zahl entsteht. Ich frage den Zuschauer anschließend nach seiner Lieblingsfarbe und seinem Geburtsdatum. Nach kurzer Bedenkzeit behaupte ich, ich würde nun einen Teiler dieser Zahl kennen - eine zweistellige Zahl, die ich Euch hier aber noch nicht verraten möchte. Ich lasse den Zuschauer dann mit einem Taschenrechner nachrechnen. Bis jetzt hat es immer gestimmt!"

"Cooler Trick", sagt der erste Zauberer. "Ich glaube, es ist die 73. Die achtstellige Zahl ist durch 73 teilbar."

Zauberer Nummer zwei ergänzt: "Sie müsste auf jeden Fall durch 13.837 teilbar sein."

"13.837?", entgegnet der dritte Magier. "Mit so großen Zahlen kann ich nicht rechnen. Aber 83 ist ganz sicher ein Teiler der achtstelligen Zahl."

Wer hat Recht?

Hier geht es zur Lösung

Die ersten beiden Magier liegen richtig, die 73 und 13.837 als Teiler nennen. Was Zauberer Nummer drei sagt (83 ist ein Teiler), stimmt hingegen nicht.

Wir wählen eine beliebige zweistellige Zahl a aus und schreiben sie viermal hintereinander. Ergebnis ist eine achtstellige Zahl. Ist a zum Beispiel 17, lautet das Ergebnis 17171717 - oder in der besser lesbaren Version 17.171.717. Wir können diese Zahl auch als Summe von vier Zahlen schreiben:

17
+ 1.700
+ 170.000
+ 17.000.000
= 17.171.717

Diese vier Summanden entsprechen einer Multiplikation der Zahl 17 mit 1, 100, 10.000 beziehungsweise 1.000.000. Wir können daher auch schreiben:

17.171.717 = 1*17 + 100*17 + 10.000*17 + 1.000.000*17

Allgemein gilt für eine zweistellige Zahl a:

Achtstellige Zahl = 1*a + 100*a + 10.000*a + 1.000.000*a

Wenn wir a ausklammern, erhalten wir:

Achtstellige Zahl = a*(1 + 100 + 10.000 + 1.000.000)
Achtstellige Zahl = a*1.010.101

Interessant ist der Faktor 1.010.101. Wenn dieser durch 73 teilbar ist, muss auch die achtstellige Zahl durch 73 teilbar sein. Und das ist tatsächlich der Fall, denn 1.010.101 = 73*13.837. Also haben erster und zweiter Zauberer auf jeden Fall Recht.

1.010.101 ist jedoch nicht durch 83 teilbar, weshalb Magier Nummer drei falsch liegt.

Übrigens: Wer alle Teiler von 1.010.101 finden möchte, muss die Zahl in sämtliche Primfaktoren zerlegen. Dabei helfen Webseiten wie beispielsweise diese  - das Ergebnis lautet:

1.010.101 = 73*101*137

101*137 ergibt 13.837, weitere Teiler von 10.101.01 sind 101*73=7.373 sowie 73*137=10.001. Auch diese beiden Zahlen könnten die Magier dem verdutzten Zuschauer nennen - ebenso wie die Primfaktoren 101 und 137.

Vielen Dank an Rolf Elmar Hoffmeister aus Bad Honnef, der diese Rätselidee vorgeschlagen hat!

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