Numerator Die Mathematik des Bergsteigens
Der Mensch will nach oben. Ihn locken die phantastische Aussicht vom Gipfel oder aber Macht und Geld, wenn es darum geht, den Chefsessel zu erklimmen. Es gibt verschiedene Strategien, um es bis an die Spitze zu schaffen. Überflieger nehmen den direkten Weg, Taktiker bevorzugen Seitenpfade und pausieren öfter mal, um sich langsam an die Höhe zu gewöhnen.
Aber welcher Weg ist nun der beste? Marcos Llobera von der University of Washington und Tim Sluckin von der University of Southampton haben diese Frage jetzt mit einem mathematischen Modell beantwortet. Die Frage nach dem optimalen Pfad auf einen Berg hinauf stellten sie dabei folgendermaßen: Auf welchem Weg verbraucht der Mensch die wenigste Energie?
Theoretisch gesehen beeinflusst der Weg auf einen Gipfel die aufgewendete Energie nicht. Denn der Mensch muss einfach nur seine potentielle Energie erhöhen. Es geht schlicht darum, sich Dutzende Meter nach oben zu hieven - auf welchem Weg dies geschieht, ist aus physikalischer Sicht egal. Es zählt allein der überwundene Höhenunterschied.
Modell bestätigt intuitives Verhalten
Die Praxis sieht freilich anders aus: Je steiler ein Weg verläuft, umso größer ist der Energieaufwand pro zurückgelegtem Höhenmeter. Llobera und Sluckin konnten nun zeigen, dass es ab einem bestimmten Anstiegswinkel des Berges günstiger ist, weitere und flachere Wege zu gehen, als direkt nach oben. Um den Gipfel zu erreichen, biete sich das Laufen im Zickzack an, schreiben die Forscher im Fachblatt "Journal of Theoretical Biology" (249, S. 206 - 217).
"Ich glaube, die Menschen laufen intuitiv im Zickzack", sagte Llobera. Das Laufen in Spitzkehren sei die effizienteste Methode, um steile An- oder Abstiege zu bewältigen. Llobera beschäftigt sich als Anthropologe seit längerem mit dem Verlauf von Wegen in Landschaften. Immer wieder stieß er dabei auf Serpentinen und Spitzkehren.
Gemeinsam mit dem Mathematiker Sluckin entwickelte er ein Modell, das auf dem Energieumsatz in Abhängigkeit von der Steilheit eines Weges beruht. Dabei griffen die Forscher sogar auf Stoffwechselmessungen bei Bergsteigern aus dem Jahr 1938 zurück, die damals der italienische Physiologe Rodolfo Margaria durchgeführt hatte. Als Basis für ihr Modell nutzten Llobera und Sluckin folgende Formel:
M(a) = 2,635 + 17,37 a + 42,37 a2 - 21,43 a3 + 14,93 a4
Die Variable a ist dabei der Anstieg des eingeschlagenen Weges - genaugenommen der Tangens des Anstiegswinkels. M(a) beschreibt den Stoffwechsel in Kilojoule pro zurückgelegtem Meter in Abhängigkeit vom Anstieg a. Diese Formel ist der Schlüssel zur Klärung des Rätsels, warum viele Wege in den Bergen im Zickzack verlaufen.
Auf den Winkel kommt es an
"Es gibt einen kritischen Anstieg, wo es aus Stoffwechselsicht zu aufwendig wird, gerade nach oben zu gehen", sagte Llobera. Dies sei Ergebnis der mathematischen Optimierung. Das Abweichen vom direkten Weg mache es mitunter notwendig, die ursprünglich gewählte Richtung zu wechseln, um sich nicht zu weit vom Ziel zu entfernen - das typische Zickzackmuster entsteht. "Je steiler ein Berg ist, umso wichtiger wird es, ihn im richtigen Winkel zu erklimmen."
Wann aber sollte man zum Zickzack übergehen? Die Forscher haben als kritischen Winkel für Anstiege 16,0 Grad berechnet. Mit diesem Wissen konnten Llobera und Sluckin den optimalen Weg auf einen Berg berechnen, der ein perfekter Kegel ist. Wenn der Anstieg des Kegels über dem kritischen Winkel von 16,0 Grad liegt, erklimmt ein Wanderer Mount Conicus, wie die Forscher ihren Modellberg nennen, auf einem Pfad, der dem Gewinde einer Schraube gleicht (siehe Fotostrecke). Der Wanderer könnte jedoch auch im Zickzack laufen. Nimmt man an, dass die Kehrtwenden keine zusätzliche Energie erfordern, wäre der Energieaufwand identisch.
Für Abstiege liegt der kritische Winkel hingegen bei 12,4 Grad, ist also kleiner als bei Anstiegen. "Es ist schwieriger, steile Berge nach unten zu laufen als nach oben", erklärte Llobera, dies wüssten Bergsteiger nur zu genau.
Abwärtslaufen ist nicht umsonst
Die verblüffende Asymmetrie bei Auf- und Abstieg steckt bereits in der Stoffwechsel-Formel M(a): Weil der kubische Term a3 ein negatives Vorzeichen hat, erhöht sich der Energieaufwand beim Bergablaufen, weil in diesem Fall der Anstieg ebenfalls negativ ist. Ein Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv - dies macht steile Abstiege, mathematisch gesehen, so besonders mühsam.
"Man könnte annehmen, dass Abwärtslaufen umsonst ist", sagte der Jenaer Sportwissenschaftler Reinhard Blickhan im Gespräch mit SPIEGEL ONLINE. Dies sei jedoch nicht der Fall, da die Muskulatur bei jedem Schritt bremsen müsse. "Das kostet leider auch metabolische Energie." Den Ansatz der beiden Forscher zur Berechnung des optimalen Weges durch die Berge hält Blickhan für "brauchbar und durchaus klug gemacht".
Die Formel der Forscher enthüllt übrigens auch, dass leicht bergab verlaufende Wege energetisch am günstigsten sind - ein Ergebnis, dass sich mit den Erfahrungen von Wanderern deckt. Das Minimum für den Stoffwechsel liegt bei einem Winkel von minus 10 Grad. Wird es steiler, steigt der Energieaufwand schnell stark an, bereits bei 12,4 Grad Gefälle ist der kritische Winkel erreicht, ab dem man im Zickzack laufen sollte.
Das Ergebnis der mathematischen Analyse des Bergsteigens mag vielleicht trivial erscheinen. Es könnte jedoch den Verlauf vieler Straßen in den Bergen erklären, denn diese folgen oft alten, von Menschen angelegten Pfaden. Wie steil eine Straße maximal sein darf, hätten somit Fußgänger entschieden - eine interessante Hypothese.
