Erika ist eingeladen zum Geburtstag ihrer Nachbarin Brunhilde. Es ist – so viel darf hier verraten werden – noch nicht der 100. Geburtstag.

Die beiden Seniorinnen kennen sich schon lange. Aber bei den zahlreichen Kindern und Enkeln von Brunhilde verliert Erika immer wieder den Überblick.

»Sag mal, wie viele Kinder hast du eigentlich?«, fragt Erika.

»Du kennst ja mein Alter«, antwortet Brunhilde. »Die Zahl meiner Enkel entspricht genau meinem Alter. Jeder meiner Söhne hat genauso viele Kinder wie Brüder. Und jede meiner Töchter hat genauso viele Kinder wie Schwestern.«

Erika beginnt zu rechnen, kommt aber zu keinem Ergebnis. »Ich glaube, deine Angaben reichen nicht aus, um die Anzahl deiner Kinder zu berechnen.«

»Stimmt«, sagt Brunhilde. »Ich habe vergessen zu erwähnen, dass ich mehr Söhne als Töchter habe.«

Welchen Geburtstag feiert Brunhilde gerade? Und wie viele Kinder hat sie?

Brunhilde feiert ihren 84. Geburtstag. Sie hat 13 Kinder (vier Töchter und neun Söhne).

Zunächst legen wir einige Variablen fest: a ist das Alter von Brunhilde und zugleich die Zahl ihrer Enkel. b ist die Zahl ihrer Töchter, c die Zahl ihrer Söhne. Jede Tochter hat b – 1 Schwestern und b – 1 Kinder (= Enkel von Brunhilde). Zusammen haben die b Töchter b(b – 1) Kinder. Analog gilt: Jeder Sohn hat c – 1 Brüder und c – 1 Kinder (= Enkel). Zusammen haben die c Söhne c(c – 1) Kinder. Die Summe aller Kinder entspricht dem Alter von Brunhilde:

a = b(b – 1) + c(c – 1)

Nehmen wir an, es gäbe nur eine Kombination (b, c) = b Töchter und c Söhne gleich b + c Kinder, welche zum Alter von Brunhilde passt. Dann wäre aus Symmetriegründen auch b Söhne und c Töchter eine Lösung. Denn diese Lösung würde ebenfalls b + c Kindern entsprechen. Erika wüsste also auf jeden Fall allein anhand des Alters, dass Brunhilde b + c Kinder hat, und würde nicht sagen: »Ich glaube, deine Angaben reichen nicht, um die Anzahl deiner Kinder zu berechnen.«

Also muss es mindestens zwei unterschiedliche Zahlenpaare (b, c) und (d, e) geben, die zur Gesamtzahl der Enkel passen und damit zum Alter von Brunhilde.

Die ergänzende Antwort von Brunhilde (»Ich habe mehr Söhne als Töchter«) hilft Erika, unter den mindestens zwei Lösungspaaren (b, c) und (d, e) das Richtige zu finden.

Das ist nur möglich, wenn bei genau einem der Paare die Anzahl der Söhne und Töchter unterschiedlich ist – und bei allen anderen Paaren gilt: Töchterzahl gleich Brüderzahl. Nur in dieser Konstellation bleibt ein einziges Paar als Lösung übrig. Ist bei mehr als einem Paar die Zahl der Töchter und Söhne unterschiedlich, käme jedes dieser Paare als Lösung infrage, wobei dann natürlich die größere der zwei Zahlen für die Zahl der Söhne stehen würde.

Also gilt bei mindestens einem Paar, wir nennen es (b, c), b gleich c. Brunhilde hätte dann b Töchter und b Söhne. Jeder Sohn hat b – 1 Brüder und b – 1 Kinder, jede Tochter hat b – 1 Schwestern und b – 1 Kinder. Insgesamt kommen wir daher auf 2b(b – 1) Kinder. Und diese Zahl entspricht dem Alter von Brunhilde a. Das schreiben wir als Gleichung auf:

a = 2b² – 2b
0 = b² – b – a/2

Wir suchen nun alle ganzzahligen Lösungen b dieser Gleichung, wobei a ebenfalls ganzzahlig ist und kleiner als 100 und größer als 40 (eher 60, aber wir rechnen hier mal mit einem Mindestalter von 40). Die positive Lösung der Gleichung lautet:

b = 1/2 + 1/2*Wurzel(1 + 2a)

Damit b ganzzahlig wird, muss 1 + 2a eine Quadratzahl sein. Wegen 40 < a und 100 > a liegt 2a + 1 im Intervall zwischen 81 und 201 und ist wegen 2a + 1 eine ungerade Zahl. Als Wert für 2a + 1 kommen nur 81, 121 und 169 infrage. Dies entspricht für das Alter a den Zahlen 40, 60 oder 84. Für diese drei Alterszahlen existiert eine Lösung, bei der die Zahl der Brüder der Zahl der Schwestern entspricht.

Laut Aufgabe muss es aber noch eine zweite Lösung (d, e) für dieselbe Alterszahl a geben, bei der d > e ist.

Nun schauen wir, ob es für 40, 60 oder 84 eine solche Lösung gibt. Wenn t die Anzahl der Brüder oder Schwestern ist, haben diese Brüder oder Schwestern jeweils t – 1 Brüder beziehungsweise Schwestern und jeweils t Kinder. Die Gesamtzahl der Kinder bei t Brüdern oder Schwestern beträgt daher t² – t. Folgende Tabelle listet die Werte auf:

Wir müssen in dieser Tabelle nun zwei verschiedene Zeilen mit t = d und t = e finden, sodass die Gesamtzahl der Kinder, also die Summe d² – d + e² – e, genau einer der Alterszahlen 40, 60 oder 84 entspricht.

Nur bei a = 84 existiert eine Lösung. Diese lautet d = 9 und e = 4. Brunhilde ist also 84 Jahre alt, hat 9 Söhne, 4 Töchter und 84 Enkel.

Entdeckt habe ich diese Aufgabe auf dem Portal mathematik.ch .

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