»Ich lüge gerade« – dieser einfache Satz treibt uns mitten hinein in die verwirrende Welt der Lügner-Paradoxa . Weil sich nämlich selbst mit messerscharfer Logik nicht mehr entscheiden lässt, ob die Aussage wahr ist oder falsch. Egal, ob wir annehmen, der Satz sei wahr oder falsch, wir landen immer bei einem nicht auflösbaren Widerspruch.

Das Rätsel aus dieser Woche ist ähnlich gelagert. Ein Satz macht Aussagen über sich selbst. In dem Satz gibt es zehn Leerstellen, die Sie mit einstelligen Zahlen füllen sollen, sodass der Satz insgesamt der Wahrheit entspricht.

Der Satz lautet wie folgt:

»Dieser Satz enthält
_ Mal die Zahl 0,
_ Mal die Zahl 1,
_ Mal die Zahl 2,
_ Mal die Zahl 3,
_ Mal die Zahl 4,
_ Mal die Zahl 5,
_ Mal die Zahl 6,
_ Mal die Zahl 7,
_ Mal die Zahl 8 und
_ Mal die Zahl 9.«

Wichtig: Die Leerstellen dürfen nur mit einstelligen Zahlen von 0 bis 9 gefüllt werden. Zahlwörter wie eins oder zwei sind nicht erlaubt, die üblichen Rechtschreibregeln für Zahlen und Zahlwörter gelten ausnahmsweise nicht.

Noch ein Hinweis auf die Selbstreferenz des Satzes: Überall eine 1 hinzuschreiben ist keine Lösung, weil der Satz dann 11 Mal die 1 enthielte und die eigentliche Aussage im Satz, dass es genau eine Eins gibt, falsch wäre.

Die Lösung lautet:

»Dieser Satz enthält
1 Mal die Zahl 0,
7 Mal die Zahl 1,
3 Mal die Zahl 2,
2 Mal die Zahl 3,
1 Mal die Zahl 4,
1 Mal die Zahl 5,
1 Mal die Zahl 6,
2 Mal die Zahl 7,
1 Mal die Zahl 8 und
1 Mal die Zahl 9.«

Es gibt mehrere Wege zur Lösung, wobei ich sie durch geschicktes Probieren und Nachjustieren gefunden habe.

Klar ist, dass jede der gesuchten zehn Zahlen mindestens 1 sein muss, weil jede der Zahlen von 0 bis 9 im Satz bereits einmal auftaucht, bevor wir beginnen, die zehn Leerstellen zu füllen. Weil zudem nur einstellige Lösungszahlen erlaubt sind, steht damit fest, dass die 0 nur einmal auftritt.

Der Satz enthält insgesamt genau 20 Zahlen. Zehn sind es an den Leerstellen und zehn rechts davon (»Zahl 0«, »Zahl 1«, …). Also muss die Summe der zehn gesuchten Zahlen für die zehn Leerstellen 20 sein.

Von den größeren Zahlen 7, 8, 9 darf höchstens eine mehr als einmal auftreten. Falls zwei dieser Zahlen mehr als einmal auftreten, müssen beide mindestens einmal in einer Leerstelle zu finden sein. Die Summe der zehn gesuchten Leerstellen-Zahlen wäre dann mindestens bei 2 Mal Zahl 7 und 8 Mal Zahl 1 gleich 2*7 + 8*1 = 22. Diese Summe muss jedoch 20 sein.

Daraus folgt, dass die 1 im Satz mindestens viermal zu finden ist: vor der Zahl 0, im Satzteil »_ Mal die Zahl 1« und zweimal am Ende vor den Zahlen 7, 8, 9.

Nehmen wir an, die Zahl 1 taucht x Mal auf und x ist eine der größeren Zahlen. Das würde womöglich bedeuten, dass die Zahl x nur zweimal zu finden ist. Dann könnte die Zahl 2 jedoch nicht zweimal auftreten, sonst gäbe es die 2 ja insgesamt dreimal im Satz. Versuchen wir es deshalb mit »3 Mal die Zahl 2« und »2 Mal die Zahl 3«. Daraus können wir auf x=7 schließen. Und das ist tatsächlich eine Lösung!

Ist das die einzige Lösung?

Um zu prüfen, ob es nicht noch weitere Lösungen gibt, können wir eine systematische Fallunterscheidung durchführen. Ich möchte das hier nicht in Gänze tun, beschreibe aber die ersten Schritte.

Wir wissen, dass die Anzahl der Einsen x mindestens 4 sein muss. x kann jedoch auch nicht größer als 9 sein, denn alle Zahlen der Leerstellen müssen einstellig sein. Wir schauen uns nun alle Varianten von x = 4 bis x = 9 einzeln an.

x=4

An den zehn Leerstellen tauchen dann genau drei Einsen auf, zusammen mit der Eins rechts (»_ Mal die Zahl 1«) sind dass dann x=4 Einsen. Die zehn Leerstellen-Zahlen müssen in Summe 20 ergeben, daher sind folgende drei Kombinationen für die zehn gesuchten Zahlen möglich (Zahlen nach Größe sortiert):

111 2222 333
111 22222 34
111 222222 5

Alle drei Kombinationen führen zu keiner Lösung.

Im ersten Fall und im dritten Fall fehlt die Zahl 4 unter den zehn Leerstellen-Zahlen. Die Aussage des Satzes kann dann nur falsch sein. In Fall zwei findet sich eine 4. Aber es gäbe im gesamten Satz die Zahl 2 sechsmal. Die 6 findet sich aber nicht unter den Zahlen für die Leerstellen.

x=5

Wir müssen dann folgende vier Kombinationen untersuchen:

1111 22 3333
1111 222 334
1111 2222 35
1111 2222 44
1111 22222 6

Nur in Fall 3 taucht die Zahl 5 auf, die wir wegen x=5 benötigen. Zugleich gibt es die 2 insgesamt 4+1 = 5 Mal im Satz. Wir bräuchten also zweimal eine 5 für die Leerstellen, es gibt jedoch nur eine.

x=6

Es ergeben sich folgende sechs Kombinationen:

11111 2222 7
11111 222 36
11111 222 45
11111 22 335
11111 22 344
11111 2 3334
11111 33333

Die Zahl 6 muss in der Kombination auftauchen, damit kommt nur Zeile zwei als Lösung infrage. Diese ist jedoch keine, weil darin drei Zweien sind. Im gesamten Satz gibt es die 2 damit viermal. In der Kombination fehlt die 4 allerdings, weshalb die Aussage des Satzes nicht stimmen kann.

Für x=7 erhalten wir die oben beschriebene Lösung. Für x=8 und x=9 gibt es keine Lösungen.

Sofern auch zweistellige Lösungen erlaubt sind und wir statt des Begriffs Zahl den Begriff Ziffer nutzen, existiert die folgende Lösung.

»Dieser Satz enthält
1 Mal die Ziffer 0,
11 Mal die Ziffer 1,
2 Mal die Ziffer 2,
1 Mal die Ziffer 3,
1 Mal die Ziffer 4,
1 Mal die Ziffer 5,
1 Mal die Ziffer 6,
1 Mal die Ziffer 7,
1 Mal die Ziffer 8 und
1 Mal die Ziffer 9.«

Vielen Dank an den Leser Patrick Weidhaas, der dieses Rätsel vorgeschlagen hat. Links zu weiteren Lösungsansätzen finden Sie auf mindyourdecisions.com .

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