Die Fläche eines Quadrats ist leicht auszurechnen - sie entspricht dem Quadrat seiner Seitenlänge. Ganz so einfach ist das folgende Problem jedoch nicht zu lösen. Sie sollen die Größe der Teilfläche eines Quadrats bestimmen, die durch Überlappung mit einem größeren Quadrat entsteht.

Das kleine Quadrat hat die Seitenlänge 3, das große Quadrat eine Seitenlänge von 4. Eine Ecke des größeren Quadrats befindet sich exakt auf dem Mittelpunkt des kleineren Quadrats.

Und es gibt noch eine weitere Information zur Lage der beiden Figuren: Das größere Quadrat ist um seinen oberen linken Eckpunkt so weit gedreht, dass eine seiner Seiten die rechte Seite des kleineren Quadrats im Verhältnis 1:2 teilt - siehe folgende Skizze:

Wie groß ist die türkis gefärbte Teilfläche des kleinen Quadrats, die vom größeren Quadrat überdeckt wird?

Die Lösung

Die gesuchte Fläche entspricht einem Viertel der Gesamtfläche des kleineren Quadrats - also genau 3*3/4 = 9/4.

Für die Lösung ist keine komplizierte Rechnung nötig. Es reicht, die zwei Seiten des größeren Quadrats zu verlängern, die am Mittelpunkt des kleineren Quadrats enden. Wir sehen dann sofort, dass das kleinere Quadrat dadurch in vier kongruente Teilstücke zerschnitten wird. Und logischerweise ist jedes dieser vier Stücke gleich groß und die Fläche entspricht jeweils einem Viertel der Gesamtfläche.

Zugleich wird klar, dass es egal ist, wo genau die Seiten der beiden Quadrate einander schneiden. Solange der Eckpunkt des großen Vierecks sich auf dem Mittelpunkt des kleinen Vierecks befindet, entspricht die überlappende Fläche stets einem Viertel der Fläche des kleinen Quadrats. Ganz egal, um welchen Winkel wir das große Quadrat auch drehen. Dass eine Seite des großen Quadrats eine Seite des kleinen Quadrats im Verhältnis von 1:2 teilt, war hier also eine überflüssige Information.

Entdeckt habe ich diese Aufgabe in einem Buch des Rätselsammlers Martin Gardner, in dem Kolumnen von ihm aus dem "Scientific American" abgedruckt sind.