Generationen von Schülern haben viele Mathestunden mit schriftlichem Multiplizieren verbracht. Mit Mathematik hat das zwar nicht allzu viel zu tun - mehr dazu hier. Aber es gibt Momente, in denen es dann doch ganz hilfreich ist, wenn man nicht nur in den Taschenrechner tippen, sondern tatsächlich noch schriftlich rechnen kann. Wie bei der folgenden Aufgabe.

Eine dreistellige Zahl wird mit einer zweistelligen Zahl multipliziert. Die Berechnung steht an einer Tafel. Doch die meisten Ziffern sind verwischt und nicht mehr erkennbar. Nur die Ziffer 1 taucht viermal auf - siehe Bild oben.

Wie lautete die ursprüngliche Rechnung? Lässt sich diese eindeutig rekonstruieren?

Hier geht es zur Lösung

Es existieren zwei verschiedene Lösungen:

143*77 = 11011

189*99 = 18711

Beide Zwischenergebnisse der Multiplikation enden auf die Ziffer 1. Also untersuchen wir zuerst, welche Produkte welcher Ziffern auf 1 endet. Wir finden dabei nur drei Möglichkeiten:

1*1 = 1
3*7 = 21
9*9 = 81

Wir wissen also, dass die Einerstelle der dreistelligen Zahl nur eine 1, 3, 7 oder 9 sein kann. Die beiden Ziffern der zweistelligen Zahl müssen identisch sein, damit in beiden Fällen eine 1 herauskommt. Und diese Ziffern müssten zum Einer des dreistelligen Faktors passen - also entweder 1, 7, 3 oder 9 sein. Deshalb lautet der zweistellige Faktor entweder 11, 33, 77 oder 99.

Weil der dreistellige Faktor jedoch mit 1 beginnt und somit kleiner als 200 ist, muss der zweistellige Faktor größer als 50 sein, damit das Produkt der beiden Zahlen - wie vorgegeben - fünfstellig ist (199*50 = 9950!). Daraus folgt sofort, dass der zweistellige Faktor nur 77 oder 99 sein kann. Der dreistellige Faktor links daneben endet folglich auf 3 oder 9. Die Multiplikation lautet also entweder 1_3 * 77 oder 1_9 * 99, wobei die Ziffer an Stelle _ noch gesucht wird.

Es fehlt nur noch jeweils eine Ziffer, sofern in beiden Fällen eine oder mehrere Lösungen existieren. Wir schauen uns die beiden Fälle einzeln an:

1_3*77

Das Produkt aus 3 und 7 ist 21. Deshalb müssen wir uns bei den beiden Zwischenprodukten an der Zehnerstelle jeweils eine 2 merken. Nun schauen wir uns die Zehnerstelle des Endergebnisses an - eine 1. Sie entsteht durch Addition einer 1 (Einerstelle des oberen Zwischenergebnisses) und der Zehnerstelle des unteren Zwischenergebnisses. Damit dabei eine 1 herauskommt, muss das Produkt aus 7 und der noch gesuchten mittleren Ziffer des dreistelligen Faktors auf 8 enden. Denn die weiteren Summanden lauten 2 (gemerkt von 7*3) und 1 (Einer der Zwischensumme oben).

Bei der gesuchten Ziffer kann es sich deshalb nur um eine 4 handeln, denn nur 7*4 = 28 endet auf 8. Wir haben die erste Lösung gefunden:

1_9 * 99

Analoge Überlegungen ergeben, dass das Produkt aus 9 und der gesuchten Ziffer auf 2 enden muss. Denn beiden weiteren Summanden bei der Berechnung der Zehnerstelle des Produkts lauten 8 (gemerkt von 9*9) und 1 (Einer der Zwischensumme oben).

Bei der gesuchten Ziffer kann es sich deshalb nur um eine 8 handeln, denn nur 9*8 = 72 endet auf 2. Das ist die zweite mögliche Lösung: