Wird es ein Junge oder ein Mädchen? Über das Geschlecht eines Kindes entscheidet natürlich nicht der erste Ultraschall, sondern ein Wettrennen der Spermien. Unter den Milliarden Samenfäden des Mannes besitzt die eine Hälfte ein X-Chromosom und die andere Hälfte ein Y-Chromosom. Je nachdem, welche Variante schließlich die weibliche Eizelle befruchtet, wird das Kind ein Junge (Y-Chromosom) oder ein Mädchen (X-Chromosom).

Die Geschlechtswahl ist zufällig - und deshalb eignet sie sich wunderbar für das folgende mathematische Rätsel. Darin geht es um Mütter, die alle genau zwei Kinder haben. Ein paar hundert dieser Mütter sind in einer großen Halle versammelt.

Eine Frau geht durch die Reihen und befragt Anwesende: "Hast du mindestens einen Sohn?" Eine Befragte antwortet mit "Ja" und verrät anschließend ihren Namen. Sie heißt Martina.

Gleich die erste Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martina zwei Söhne hat?

Einer anderen anwesenden Mutter wird folgende Frage gestellt: "Hast du mindestens einen Sohn, der an einem Dienstag geboren wurde?" Die Frau antwortet "Ja" und nennt ebenfalls ihren Namen: Stefanie.

Auch hier stellt sich die Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeiten, dass Stefanie zwei Söhne hat? Genauso groß wie bei Martina?

Wir gehen davon aus, dass beide Geschlechter gleich häufig sind. Die Wahrscheinlichkeit, eine Tochter zu bekommen, soll also genauso groß sein wie die, einen Sohn zu kriegen. Zudem nehmen wir an, dass die Geburtstage von Kindern gleichmäßig über die sieben Wochentage verteilt sind.

Hinweis: Der Text dieses Rätsels wurde präzisiert, weil er in der ursprünglichen Version keine eindeutige Lösung hatte.

Unsicher mit der Lösung? Dann hier klicken

Man könnte meinen, die Wahrscheinlichkeit für zwei Söhne bei Martina liege bei 50 Prozent. Doch das stimmt nicht.

Und falls Sie der Meinung sind, die Wahrscheinlichkeiten bei Martina und Stefanie seien gleich groß - auch das ist verblüffenderweise falsch.

Ein Tipp für die Lösung: Analysieren Sie systematisch alle Fälle. Vielleicht hilft ihnen der Hinweis auf das gleichzeitige Werfen von zwei Würfeln. Was ist wahrscheinlicher: zwei Einsen oder eine Eins und eine Zwei?

Hier geht es zur Lösung

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Martina zwei Söhne hat, beträgt 1/3. Bei Stefanie kommt überraschenderweise ein anderes Ergebnis heraus - nämlich 13/27.

Zunächst die Erklärung für Martina: Man könnte glauben, die Wahrscheinlichkeit liege bei 1/2. Und das würde sogar stimmen, sofern wir zum Beispiel wissen, dass das ältere Kind ein Junge ist. Das jüngere Kind wäre dann mit einer Wahrscheinlichkeit von je 50 Prozent männlich oder weiblich.

Doch wir wissen nicht, ob der Sohn von Martina (falls sie nur einen hat) das ältere oder das jüngere Kind ist. Wir wissen nur, dass sie mindestens einen Sohn hat. Also sind beide Fälle denkbar (jünger und älter) - und wir müssen uns beide anschauen.

Bei zwei Kindern sind die folgenden vier Geschlechterverteilungen möglich, die alle gleichwahrscheinlich sind. Das erstgenannte Kind soll das ältere sein:

• Junge, Junge
• Junge, Mädchen
• Mädchen, Junge
• Mädchen, Mädchen

Fall vier (Mädchen, Mädchen) entfällt, weil wir ja wissen, dass Martina mindestens einen Sohn hat. Es blieben drei Fälle übrig, die gleich wahrscheinlich sind. Aber nur im Fall (Junge, Junge) gibt es zwei Brüder - die Wahrscheinlichkeit ist deshalb 1/3!

Komplizierter wird es im Fall Stefanie. Über das Problem "Boy or Girl Paradox" gibt es einen eigenen Wikipedia-Eintrag  und einige Fachartikel, etwa von Tanya Khovanova oder von Julie Rehmeyer . Die hier von mir angegebene Lösung 13/27 stimmt demnach nur unter bestimmten Voraussetzungen. Entscheidend ist, auf welchem Weg wir an die Informationen über die Kinder von Stefanie gekommen sind. Das Ergebnis lautet nur dann 13/27, wenn wir eine Mutter von zwei Kindern zufällig auswählen und fragen: "Hast du mindestens einen Sohn, der an einem Dienstag geboren wurde?" Und wenn die Antwort darauf "Ja" lautet.

Hier die Analyse: Das ältere Kind kann ein Mädchen oder Junge sein, das jüngere ebenfalls (solange nicht beide zugleich Mädchen sind). Zudem ist jedes der Kinder an einem der sieben Wochentage geboren, mit jeweils gleich großer Wahrscheinlichkeit.

Folgende Tabelle listet alle möglichen Fälle für zwei Kinder und sieben Wochentage auf, an denen sie geboren sein können. Oben stehen die Eigenschaften des älteren Kindes - es gibt dabei 14 verschiedene Möglichkeiten wie Junge-Montag oder Mädchen-Freitag. Links sind die 14 Möglichkeiten für das zweite Kind. Ohne jegliches Vorwissen gäbe es 14 x 14 = 196 verschiedene Kombinationen für zwei Geschwisterkinder.

Weil wir jedoch wissen, dass ein Kind ein Junge ist, das an einem Dienstag geboren wurde, ergeben sich nur 13 + 14 = 27 verschiedene Varianten. Diese 27 Kästchen sind in der Tabelle schwarz schraffiert.

Jede dieser 27 Kombinationen erfüllt die Bedingungen der Aufgabe. Alle 27 sind gleich wahrscheinlich. Aber nur 6 + 7 = 13 davon sind Fälle, in denen beide Kinder Jungen sind, diese befinden sich im blauen Segment links oben. Deshalb beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht 1/3 sondern 13/27.

Anders ist die Situation, wenn wir die Fragen an eine Mutter wie folgt formulieren: "Hast du mindestens einen Sohn?" Antwortet sie mit "Ja", bitten wir sie den Geburtstag des Jungen zu nennen. Falls sie zwei Söhne hat, soll sie den Geburtstag eines Sohnes nennen, den sie zufällig ausgewählt hat. Wenn die Frau als Antwort Dienstag angegeben hat, ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Söhne 1/3 - wie bei Martina.

Es kann als Ergebnis jedoch auch 1/2 herauskommen. Nämlich dann, wenn wir der Mutter folgende Frage stellen: "Wähle zufällig eines deiner beiden Kinder aus: Ist es ein Junge, der an einem Dienstag geboren wurde?" Wenn sie mit Ja antwortet, dann ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Söhne gleich 1/2.

Hinweis: Der Text der Lösung wurde an die veränderte Fragestellung angepasst und um zusätzliche Erläuterungen zum "Boy or Girl Paradox" ergänzt.