Wenn man Zahlen potenziert, entstehen schnell gigantische Monster. Das wohl berühmteste Beispiel dafür ist die Legende von den Reiskörnern auf dem Schachbrett. Ein persischer König soll dem Erfinder des Schachspiels einst eine Belohnung versprochen haben.

Der weise Erfinder wünschte sich Reiskörner auf dem Schachbrett: auf dem ersten Feld eins, auf dem zweiten zwei, auf dem dritten vier - die Zahl der Körner sollte sich also von Feld zu Feld verdoppeln.

Der König wunderte sich über den bescheidenen Wunsch und wollte ihn erfüllen. Doch schließlich musste er feststellen, dass das unmöglich war, denn es ging um 18 Trillionen Körner, eine zwanzigstellige Zahl!

Im heutigen Rätsel geht es um noch viel größere Zahlenmonster. Zwei Kopfrechenkünstler spielen mit den Zahlen 3 und 7. Der eine versucht, hundert Potenzen von 3 zu addieren:

3¹ + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰

Der andere macht das Gleiche mit Potenzen von 7:

7¹ + 7² + 7³ + … + 7⁹⁹ + 7¹⁰⁰

Dann sagt der erste: "Ich bin noch nicht ganz durch, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass meine Summe der Dreierpotenzen durch 10 teilbar ist."

Darauf entgegnet der zweite: "Mmh, komisch. Ich glaube, meine Summe der Siebenerpotenzen ist auch durch 10 teilbar."

Wer hat Recht?

Hier geht's zur Lösung

Beide haben Recht! Das findet man heraus, indem man die Reste der Zahlen beim Teilen durch 10 untersucht.

Wenn wir wissen wollen, ob eine natürliche Zahl durch 10 teilbar ist, müssen wir nur ihre letzte Ziffer kennen. Nur wenn dort eine Null steht, klappt das Dividieren.

Auf welche Zahl aber endet die Summe von hundert Dreier- oder Siebenerpotenzen? Dazu müssen wir die Reste all dieser Zahlen beim Teilen durch 10 addieren. Und das ist jeweils ihre letzte Ziffer, auch Einer genannt. Ist die Summe aller Einer durch 10 teilbar, gilt das auch für die Summe der Potenzen.

Wir notieren also von jeder Potenz nur die letzte Ziffer - den Einer. Folgende Tabelle zeigt die ersten zehn Potenzen von 3 und 7 sowie ihre Reste beim Teilen durch 10 (die identisch mit dem Einer sind):

Schauen wir uns zuerst die Reste der Dreierpotenzen an: Es geht los mit 3, 9, 7, 1 - und dann wiederholt sich diese Sequenz aus vier Zahlen immer wieder. Denn die Einer werden, wenn man von einer Potenz zur nächsthöheren geht, ja stets mit der gleichen Zahl multipliziert - der 3. Und 27 mal 3 endet ebenso auf 1 wie 2187 mal 3.

Die Summe der vier Reste 3, 9, 7, 1 ist genau 20, woraus folgt, dass die Summe aus vier aufeinanderfolgenden Dreierpotenzen immer durch 10 teilbar ist.

Die hundert aufsummierten Dreierpotenzen bestehen nun aber aus 25 solchen Gruppen von vier aufeinanderfolgenden Dreierpotenzen - und daher muss auch die gesamte Summe durch 10 teilbar sein.

Ganz ähnlich ist die Situation bei den Resten der Siebenerpotenzen. Dort wiederholt sich immer wieder die Sequenz 7, 9, 3, 1. Auch hier ist die Restesumme 20, was bedeutet, dass vier aufeinanderfolgende Siebenerpotenzen stets durch 10 teilbar sind. Daher ist auch die gesamte Summe aus hundert Potenzen durch 10 teilbar.

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