Viele Jahre herrschte der König - und es waren gute Jahre für ihn. Seine Untergebenen mussten hart arbeiten, der größte Teil des Gewinns ging an ihn. Doch die Zeiten haben sich geändert. Das frustrierte Volk blies zur Revolution. Nun hat sich das einstige Königreich in eine Demokratie gewandelt. Und weil der König seine Untergebenen immer so ausgequetscht hat, darf er selbst nicht einmal mit abstimmen.

Doch der einstige Alleinherrscher gibt nicht auf: Er will sich zurückholen, was ihm seiner Meinung nach zusteht. Wenn es nicht anders geht, dann eben auf demokratischem Wege.

Nach der Revolution wurde die Verteilung der Reichtümer des Landes neu organisiert. Das Volk besteht aus neun Untergebenen und dem einstigen König - also aus insgesamt zehn Personen. Jeden Monat stehen genau zehn Taler für Lohnzahlungen zur Verfügung. Jede Person bekommt deshalb jeden Monat einen Goldtaler ausgezahlt - auch der König.

Der Verteilungsschlüssel darf verändert werden, sofern es eine Mehrheit dafür gibt. Ein Untergebener stimmt für eine Veränderung, sofern dadurch sein eigener Monatslohn steigt. Er stimmt dagegen, wenn sein Lohn sinkt. Wenn sich sein monatlicher Lohn nicht verändert, enthält er sich. Der König darf nicht mit abstimmen, er darf aber als einziger Vorschläge machen, wie man die Verteilung des Geldes verändern könnte.

Welche maximale monatliche Lohnsumme kann sich der König sichern?

Zusatzfrage: Das Volk besteht aus insgesamt 1000 Personen inklusive König. Monatlich werden 1000 Taler ausgezahlt, zu Beginn an jede Person genau einer. Welche Höchstsumme ist für den König erreichbar?

Hier geht es zur Lösung

Der König kommt auf einen Maximallohn von sieben Goldtalern. Hat er statt neun 999 Untergebene, kann er sich einen Lohn von 997 Talern sichern.

Damit die Umverteilung überhaupt gelingt, muss der König seinen eigenen Lohn zuallererst auf null setzen. Bei der Umverteilung, die in mehreren Schritten geschieht, gehen die Taler an immer weniger Untergebene - immer mehr haben dann einen Lohn von null.

In jedem Schritt werden die Taler nicht der Hälfte der bisherigen Lohnempfänger weggenommen, sondern einer Person weniger. Die frei werdenden Taler gehen dann an die übrigen bisherigen Lohnempfänger, die mindestens eine Person mehr sind als jene Untergebenen, die ihren Lohn komplett einbüßen. Deshalb gibt es stets eine Mehrheit für die Umverteilung.

Wie das Ganze mit neun Untergebenen funktioniert, zeigt der folgende Slider:

Es ist nicht möglich, dass ein Untergebener allein alle zehn Taler als Lohn bekommt. Denn bei einer Umverteilung, die zu dieser Konstellation führen würde, wäre diese eine Person die einzige, die eine Lohnsteigerung bekäme. Weil aber zugleich mindestens ein anderer Untergebener weniger Lohn erhielte (dessen Geld an den Alleinempfänger ginge), kann es für diese Lohnumverteilung keine Mehrheit geben. Sie ist deshalb ausgeschlossen.

Daraus folgt: Die Taler müssen über mindestens zwei Untergebene verteilt sein.

Wir gehen vom allgemeinen Fall aus, dass König plus Untergebene zusammen n Personen sind, also jeden Monat n Taler ausgezahlt werden.

Wenn die n Taler nach diversen Umverteilungen an nur noch zwei Personen ausgezahlt werden, kann sich der König einen Lohn von höchstens n-3 Talern sichern. Dazu werden den beiden Lohnempfängern alle n Taler weggenommen.

Drei Taler gehen an drei andere Untergebene, die zuvor einen Lohn von null hatten. Diese drei stimmen deshalb der neuen Lohnverteilung zu. Die beiden Untergebenen, die zuvor zusammen alle n Taler bekommen haben, stimmen dagegen, bekommen aber keine Mehrheit. So bleiben n-3 Taler für den König.

Entdeckt habe ich dieses Aufgabe in einer Rätselsammlung  von Peter Winkler.