Martin und Katharina würfeln gern gegeneinander. Das Spiel ist ganz einfach: Jeder nimmt einen Würfel - und wer die höhere Zahl wirft, hat gewonnen. Um das Ganze noch etwas spannender zu machen, nehmen die beiden auch gern Würfel, die sich von den gängigen unterscheiden.

Diesmal haben sie vier verschiedene sechsseitige Würfel, deren Seiten mit folgenden Zahlen beschriftet sind:

Würfel A: 0, 0, 4, 4, 4, 4

Würfel B: 3, 3, 3, 3, 3, 3

Würfel C: 2, 2, 2, 2, 6, 6

Würfel D: 1, 1, 1, 5, 5, 5

Martin darf sich einen der vier Würfel aussuchen, Katharina danach einen von den verbliebenen drei. Beide werfen dann den von ihnen gewählten Würfel einmal.

Wer hat die größten Chancen, dabei zu gewinnen? Welche Strategie muss er beziehungsweise sie dafür nutzen?

Hier geht es zur Lösung

Katharina hat die größeren Gewinnchancen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 gewinnt sie, sofern sie den richtigen Würfel wählt. Bei der Auswahl des Würfels muss sie darauf achten, welchen Würfel Martin genommen hat. Denn es gibt zu jedem Würfel, den Martin auswählt, einen anderen, der in 2/3 aller Fälle beim Würfeln eine höhere Augenzahl anzeigt.

Folgende Übersicht zeigt die kurios anmutende Verteilung der Gewinnchancen:

• A schlägt B in 24 von 36 Fällen, also mit einer Wahrscheinlichkeit von p=2/3,
• B schlägt C in 24 von 36 Fällen, also mit p=2/3,
• C schlägt D in 24 von 36 Fällen, also mit p=2/3,
• D schlägt A in 24 von 36 Fällen, also mit p=2/3.

Mathematiker nennen diese Würfel intransitive Würfel  oder auch Efrons Würfel. Der US-Statistiker Bradley Efron hatte sie in den Sechzigern erfunden, Martin Gardner griff sie 1970 in einer seiner Kolumnen im "Scientific American" auf. Es gibt übrigens noch mehr als die vier von Martin und Katharina verwendeten intransitiven Würfel - mehr dazu hier .

Sollten Sie ein Rätsel aus den vergangenen Wochen verpasst haben - das sind die vergangenen zehn: