Regelmäßigen Fünfecken begegnen wir im Alltag nicht so oft. Das wohl bekannteste Objekt mit dieser Geometrie ist das Verteidigungsministerium der USA in Washington - auch bekannt als Pentagon.

Das regelmäßige Fünfeck in dieser Aufgabe wird aus gestreiftem Papier geschnitten. Anschließend drehen wir das Fünfeck immer wieder um 34 Grad nach links (gegen den Uhrzeigersinn). Und zwar so lange, bis das Fünfeck genau in den Ausschnitt passt, der durch das Herausschneiden im Papier entstanden ist.

Folgende zwei Fragen gilt es zu klären:

1) Wie oft müssen Sie das Fünfeck um 34 Grad nach links drehen, bis es sich genau in die Lücke einfügt?

2) In welcher Lage befindet sich das Fünfeck dann?

Hier geht es zur Lösung

Es sind 36 Drehungen nötig. Und das Fünfeck befindet sich dann in einer Position wie in Skizze A.

Ein regelmäßiges Fünfeck muss um ein Vielfaches von 360 : 5 = 72 Grad gedreht werden, damit es deckungsgleich ist mit seiner Lage vor der Drehung. Wir dürfen das Fünfeck jedoch nur um Vielfache von 34 Grad drehen. Wenn a und b ganze Zahlen sind und b die Anzahl der Drehungen um 34 Grad angibt, muss folgende Gleichung gelten:

a*72 = b*34

Wir suchen also das kleinstmögliche b, sodass die Gleichung stimmt, wobei a und b ganzzahlig sind. Die Zahlen a*72 und b*34 müssen dann aus denselben Primfaktoren bestehen. Also zerlegen wir die Zahlen in ihre Primfaktoren:

a*2*2*2*3*3 = b*2*17

Wir können beide Seiten durch 2 dividieren, fassen die Faktoren etwas zusammen und erhalten:

a*2*2*3*3 = b*17
a*4*9 = b*17

Damit diese Gleichung aufgeht, muss b die Faktoren 4 und 9 enthalten. Also sind mindestens 36 Drehungen erforderlich.