Magische Quadrate sind mit Zahlen gefüllt - und egal wie man darin dann Summen bildet - vertikal oder horizontal - das Ergebnis ist stets dasselbe. Bei den drei Quadraten aus diesem Rätsel schauen wir jedoch allein auf die Gesamtsumme aller Zahlen.

Das ist auch nicht allzu schwierig, denn jedes Quadrat besteht aus zweimal zwei Zahlen, die an den vier Ecken stehen. Doch die Quadrate überlappen sich teilweise. Zweimal teilen sich zwei Quadrate einen Eckpunkt - siehe folgende Zeichnung:

Sie sollen die Zahlen von 1 bis 10 so über die zehn Kreise verteilen, dass die Summe der Zahlen in jedem der drei Quadrate gleich ist.

Was ist die kleinstmögliche dabei mögliche Summe - welches ist die größtmögliche? Geben Sie dafür jeweils eine Lösung an!

Hier geht es zur Lösung

Die kleinstmögliche Summe je Quadrat ist 20, die größtmögliche ist 24.

Wenn wir die drei Summen der drei Quadrate addieren, erhalten wir die Summe über alle Zahlen von 1 bis 10 (=55). Hinzu kommen jedoch noch die beiden Zahlen a und b, die an den beiden Überlappungspunkten der Quadrate in der Mitte stehen. Denn diese beiden Zahlen werden bei der Summenbildung doppelt gezählt. Sie gehören nämlich zu je zwei Quadraten - einmal zum jeweils linken und einmal zum jeweils rechten.

Die Summe über alle drei Quadrate ist deshalb:

55 + a + b

Diese Zahl muss durch 3 teilbar sein, wenn die Summen der Zahlen bei den drei Quadraten gleich groß sein sollen. Der kleinstmögliche Wert für a + b ist 3, der größtmögliche 19. Die Summe 55 + a + b muss deshalb im Bereich 58 bis 74 liegen.

Beide Zahlen am Rand dieses Intervalls, 58 und 74, sind nicht durch 3 teilbar. Sie kommen daher als Lösung nicht in Frage. Die nächstgrößeren beziehungsweise nächstkleineren durch 3 teilbaren Zahlen sind die 60 und die 72.

1) 60

In diesem Fall gilt a + b = 5 - also ist a=1, b=4 oder a=2 und b=3. Die Summe je Quadrat beträgt 60 : 3 = 20. Eine von mehreren möglichen Lösungen sehen Sie hier:

2) 72

Es gilt a + b = 17. Möglich sind dann a=10, b=7 oder a=9, b=8. Die Summe je Quadrat beträgt 72 : 3 = 24. Auch in diesem Fall sind mehrere Lösungen möglich - ein Beispiel sehen Sie hier: